集合

集合是由不同对象聚集而成的一个整体，称其中的对象为成员或元素。如果一个对象 $x$ 是集合 $S$ 的一个成员，则写作 $x\in S$ (读作"$x$是$S$的成员"或"$x$在$S$内")。相反的，如果对象 $x$ 不是集合 $S$ 的一个成员，则写作 $x\notin S$。一个集合不包含相同元素。¹

集合的表示

一个集合有多种表示方法，常见的有枚举出所有的元素，如: $S=\{1,2,3,4\}$。在枚举过程中，如果集合的元素排列有规律则可以通过$\dots$来省略，甚至构造无限集合: $S=\{2,4,6,8,10,\dots \}$。

我们还有描述法，现在比较公认的描述法是$\{x|P(x)\}$²，其中$P(x)$是元素应该满足的条件，如: $\{x|x\text{是偶数 且 }0<x<10\}$(这个集合用枚举法表示出来是$\{2,4,6,8\}$)。

有时也可以用区间表示: $S=(1,+\infty )$ 表示大于$1$的所有实数。

我们还采用特殊的符号来表示下面几个常见的集合:

• $\varnothing$ 或 $\varnothing$ 或 $\{\}$: 空集。是不包含任何元素的唯一集合。
• ${\mathbb{Z}}^{+}$ 或 ${\mathbb{N}}^{+}$: 正整数集。
• ${\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 或 ${\mathbb{N}}_0$: 非负整数集
• $\mathbb{N}$: 自然数集。
• $\mathbb{Z}$: 整数集。
• $\mathbb{Q}$: 有理数集。
• ${\mathbb{R}}^{+}$: 正数集
• $\mathbb{R}$: 实数集。
• $\mathbb{C}$: 复数集。

集合间关系

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1. 多重集(Multiset) 也称为 袋(bag) 是数学中一种广义的集合概念。与普通集合不同，多重集中的元素可以重复出现。 ↩

2. 《算法导论》中也使用一种不太标准的描述法，即$\{x:P(x)\}$。用$:$代替$|$。 ↩